Indahnya Matematik
Seringkali guru matematik di sekolah menyatakan bahawa matematik itu mudah, menyeronokkan dan mencabar. Ramai pelajar yang mengatakan sebaliknya dan ini terbukti dengan melihat markah pencapaian pelajar apabila setiap kali peperiksaan dijalankan. Matematik merupakan suatu bidang ilmu yang merangkumi aspek nombor, aspek ruang dan bentuk aspek perkaitan. Kaedah pembelajaran matematik perlu dikuasai dan difahami. Ini adalah untuk memastikan semua kemahiran asas yang berkaitan dapat digunapakai dan membantu dalam setiap penyelesaian masalah matematik.
Keindahan yang maksudkan di sini merujuk kepada menarik, cantik dan ajaib. Oleh itu, keindahan dalam matematik dapat dilihat dalam ketiga-tiga komponen matematik yang diajar di sekolah. Setiap individu pelajar akan lebih memahami dan meminati matematik apabila didedahkan dengan keindahan matematik oleh guru ataupun menerokainya sendiri.
Pada awalnya, keindahan ilmu matematik dapat dihayati dalam urusan perdagangan, sistem ukuran tanah, corak, seni tenunan, lukisan dan untuk merekod masa. Kemudian ilmu ini berkembang melalui pemujadaran dan penaakulan logik yang bermula daripada membilang, pengiraan, pengukuran, dan kajian mengenai bentuk-bentuk serta pergerakan objek-objek fizikal. Ahli-ahli matematik telah meneroka ilmu yang pelbagai konsep ini untuk merumuskan corak-corak dan bentuk-bentuk baru bagi mewujudkan kebenaran mereka atas konsep-konsep atau teori-teori yang telah dikemukakan oleh mereka. Selain daripada itu, ilmu ini juga berkembang atas sebab kebudayaan dan evolusi zaman. Sistem awal perkiraan dan pengukuran serta teks matematik telah dijumpai dalam tamadun awal seperti Tamadun Mesir Purba yang terletak di kerajaan tengah sekitar 1300-1200 S.M., Tamadun Mesopotamia sekitar 1800 S.M., dan Tamadun India Kuno sekitar 800-500 S.M.
Sarjana-sarjana Islam telah memberi sumbangan yang amat besar dan bermakna di dalam bidang perkembangan ilmu matematik. Mereka banyak mencipta perkara-perkara baru yang menjadi ilmu matematik lebih mudah dipelajari. Salah satu sumbangan paling besar sarjana Islam di dalam bidang ini ialah memperkenalkan sistem angka baru, termasuklah angka sifar. Sistem angka mula diperkenalkan ke Arab oleh sarjana India bernama Sinhid. Sistem nombor ini telah memainkan peranan yang begitu besar dalam bidang matematik. Tanpa system nombor dan angka adalah amat sukar bagi manusia menentukan kuantiti yang difikirkan atau yang diperlukan untuk penjumlahan.
Dalam tamadun Islam, ilmu matematik berkembang berdasarkan karya-karya Yunani dan India. Empayar Islam ketika itu mengekalkan banyak teks Yunani yang kebanyakannya telah dilupai oleh orang Eropah pada masa itu. Ketika itulah juga minat dalam bidang astronomi tercetus dalam fikiran ahli-ahli fkir Islam. Salah seorang tokoh matematik Islam termasyhur ialah Muhammad Ibnu Musa al-khawarizmi yang turut digelar sebagai Bapa Matematik. Beliau digelar sedemikian atas sebab keluasan ilmunya terhadap ilmu matematik. Beliau telah menulis banyak buku yang penting mengenai angka Hindu-Arab untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah persamaan. Selain itu, beliau turut memperkenalkan ilmu algebra yang merupakan satu bidang ilmu matematik yang luas. Selain daripada al-Khawarizmi, terdapat juga tokoh Islam lain yang turut menyumbang kepada perkembangan ilmu matematik. Antaranya ialah Omar Khayyan. Beliau telah memperkenalkan kaedah penyelesaian geometri untuk persamaan kuasa tiga dan perkara ini telah mempengaruhi dalam aktiviti pembaharuan takwim. Kita mengenalpasti bahawa ilmu matematik menggunakan operasi tambah, tolak, darab, dan
bahagi sebagai asanya. Namun begitu setelah mengalami proses perkembangan budaya dan zaman, ilmu ini telah mula berkembang dan bukannya sekadar berdiri di atas empat operasi ini sahaja malah juga berteraskan tiga teras utama iaitu algebra, geometri, dan analisis.
Ilmu algebra merupakan salah satu teras utama ilmu matematik. Ilmu ini telah dikesan oleh oran Babylon pada awalnya yang membangunkan sistem arithmetik maju yang telah dapat membantu mereka dalam membuat perkiraan dalam gaya algebra. Untuk pengetahuan semua, perkataan algebra berasal daripada perkataan arab iaitu al-jabr yang bermaksud penyatuan semula. Perkataan al-jabr ini telah dipetik daripada Buku Ringkasan Tentang Pengiraan melalui Pelengkapan dan Pengimbangan yang dikarang oleh al-Khawarizmi. Menurut kamus dewan pula, algebra bermaksud penyelesaian huruf atau tanda yang memiliki angka atau kuantiti. Umumnya, penyelesaian algebra biasanya digunakan dalam permasalahan kubik dan kuadratik dan kaedah penyelesaian ini telah dikembangkan pada abad pertengahan ke-16. Perkembangan ilmu algebra turut membawa kepada kemunculan penentu. Seorang ahli matematik Jepun, Kowa Seki telah mencetuskan idea sebuah penentu pada abad ke-17. Kemudian idea ini terus dipelopori oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian. Beliau telah mempelopori idea ini dengan tujuan menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah matriks. Ilmu algebra ini terus berkembang dari abad ke abad dan pada abad ke-19, algebra abstrak telah dikembangkan dan kini ia dipanggil teori Galois.
Pada masa kini, ilmu algebra telah diberi tumpuan dalam pendidikan dan diajar pada peringkat sekolah menengah. Ilmu yang luas ini turut dipelopori oleh Bapa Matematik, al-Khawarizmi yang turut digelar sebagai Bapa Algebra. Ilmu ini sangat luas dan mempunyai banyak pecahan dan pembahagiannya. Ilmu algebra masih menggunakan operasi tambah, tolak, darab, dan bahagi sebagai asas, cuma yang membezakannya ialah penggunaan anu seperti x dan y. Melalui penguasaan terhadap ilmu algebra, seseorang itu boleh menyelesaikan permasalahan anu yang terdiri daripada pelbagai simbol.
Ilmu algebra boleh dibahagikan kepada empat bahagian yang utama, iaitu algebra asas, algebra niskala atau moden, algebra linear dan algebra semesta. Algebra asas merupakan suatu ilmu yang mencatatkan tentang sifat-sifat operasi pada system nombor yang nyata sebagai pemegang tempat dengan simbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pemboleh ubah.
Matematik yang dipelajari melibatkan beberapa operasi terhadap nombor. Terdapat empat operasi asas iaitu operasi penambahan, operasi penolakan, operasi pendaraban, dan operasi pembahagian. Walaupun matematik telah dipelajari sejak sekolah kebangsaan lagi, masih banyak bahagian dalam matematik yang semakin dipelajari semakin sedikit ilmu matematik yang tertanam dalam dada. Sememangnyalah, banyak keindahan matematik yang juga melibatkan nombor yang dapat dilihat dalam susunan corak nombor seperti contoh di bawah;
Contoh 1:
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 +3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 =98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Indahnya Matematik
Menemui Matematik Vol. 33 (2) 2011 39
Contoh 2:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111
Contoh 3:
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
Contoh 4:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
Contoh:
1 x 9 = 9 = 0 + 9 = 9
2 x 9 = 18 = 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27 = 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36 = 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45 = 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54 = 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63 = 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72 = 7 + 2 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9
Hasil darab 9, apabila ditambahkan jawapannya hingga jadi 1 digit akan menghasilkan 9 juga.
Semasa mengikuti satu program motivasi, seorang penceramah pernah menunjukkan keindahan matematik iaitu dengan menyelesaikan masalah untuk mendapatkan pencapaian 100% dalam kehidupan kita walau dalam apa juga profesion. Di sini disertakan formula matematik yang boleh membantu menyelesaikan masalah tersebut.Muhammad Ariff b. Mohamad Yussoff 40 Menemui Matematik Vol. 33 (2) 2011
Jika: A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5 , F = 6, G = 7, H = 8, I = 9, J = 10, K = 11, L = 12, M = 13,
N = 14, O = 15, P = 16, Q = 17, R = 18, S = 19, T = 20, U = 21, V = 22, W = 23, X = 24, Y = 25, Z =26
Maka:
H-A-R-D-W-O-R-K
8 + 1 + 18 + 4 + 23 + 15 + 18 + 11 = 98 %
Dan:
K-N-O-W-L-E-D-G-E
11 + 14 + 15 + 23 + 12 + 5 + 4 + 7 + 5 = 96 %
Tetapi:
A-T-T-I-T-U-D-E
1 + 20 + 20 + 9 + 20 + 21 + 4 + 5 = 100 %
Macamana dengan:
L-O-V-E-O-F-G-O-D
12 + 15 + 22 + 5 + 15 + 6 + 7 + 15 + 4 = 101 %
Nombor ganjil ialah sesuatu nombor yang apabila dibahagi dengan dua maka hasil bahaginya akan mempunyai baki 1. Contoh-contoh nombor ganjil ialah 1, 3, 5, 7, atau 9.
Nombor genap ialah sesuatu nombor yang apabila dibahagi dengan dua maka hasilbahaginya tidak mempunyai baki. Contoh-contoh nombor genap ialah 2, 4, 6, 8, 14, 100, 324, … dan seterusnya. Nombor genap berakhir dengan 0, 2, 4, 6, atau 8.
Selepas membuat perkiraan bagi sesuatu operasi hasiltambah yang melibatkan nombor ganjil dan nombor genap, dapatlah disimpulkan bahawa matematik itu memanglah indah.
Nombor ganjil + nombor ganjil = nombor genap. Contoh: 17 + 29 = 46
Nombor ganjil + nombor genap = nombor ganjil. Contoh: 55 + 56 = 111
Nombor genap + nombor genap = nombor genap. Contoh: 76 + 88 = 164
Keindahan matematik juga dapat dilihat dalam keseteraan nilai. Sebagai contoh,
0.5 = 5/10 = 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = …… = 50 %
Pembahagian yang melibatkan nombor-nombor juga menunjukkan keindahan matematik.
Sebagai contoh,
1. Semua nombor yang dibahagikan dengan dirinya, jawapannya 1.
1 ÷ 1 = 1, 2 ÷ 2 = 1, 3 ÷ 3 = 1, 4 ÷ 4 = 1, 100 ÷ 100 = 1, 500 ÷ 500 = 1
2. Semua nombor yang dibahagikan dengan sifar, jawapannya infiniti
1 ÷ 0 = ∞. 9 ÷ 0 = ∞, 222 ÷ 0 = ∞, 1000 ÷ 0 = ∞, 55555 ÷ 0 = ∞
3. Semua nombor dibahagikan oleh nombor sifar, jawapannya 0
0 ÷ 1 = 0, 0 ÷ 100 = 0, 0 ÷ 999 = 0, 0 ÷ 77777777 = 0
4. Semua nombor dikuasakan dengan sifar, jawapannya 1
1° = 1, 100° = 1, 33333° = 1, 9000000° = 1
5. Semua nombor dikuasakan dengan 1, jawapannya nombor itu sendiri
1¹ = 1, 2¹ = 2, 500¹ = 500, 999 999¹ = 999 999, 0.000 01¹ = 0.000 01 Indahnya Matematik Menemui Matematik Vol. 33 (2) 2011 41
Begitu juga nombor kuasa yang dipelajari dalam tingkatan dua iaitu melibatkan nombor kuasa dua, nombor kuasa tiga, nombor punca kuasa dua dan nombor punca kuasa tiga mempunyai peraturan dan penyelesaian yang menakjubkan. Sebagai contoh,
1. 2² = 2 x 2 = 4 dan sebaliknya √4 = √2 x √2 = √2 x 2 = 2
2. 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 dan sebaliknya ³√8 = ³√2 x ³√2 x ³√2 = ³√2 x 2 x 2 = 2
Tajuk asas nombor pula indah dari segi penulisan nombor yang mempunyai nilai yang berbeza sekiranya ditulis dalam asas nombor yang berbeza. Sebagai contohnya,
Nombor asas 10
|
Nombor asas 2
|
Nombor asas 5
|
Nombor asas 8
|
1
|
12
|
15
|
18
|
2
|
102
|
25
|
28
|
3
|
112
|
35
|
38
|
5
|
1012
|
105
|
58
|
6
|
1102
|
115
|
68
|
8
|
10002
|
135
|
108
|
9
|
10012
|
145
|
118
|
Tiada ulasan:
Catat Ulasan